Quantenpunkt

Christoph auf dem Weg zum Diplom

Woche #19: der Mai

Der Mai ist auch nicht mehr das was er mal war.

Ziemlich trostlose Stimmung wenn man hier aus dem Bürofenster auf die Hörn-Hügel guckt. Zum einen wegen des recht bescheidenen Wetters. Zum andern haben die Bauarbeiten für die Campus-Erweiterung angefangen (mit Bagger und Raupe und so). Und da hat das Wetter dann auch wieder sein Gutes - ich muss noch keine Fenster aufmachen und höre deswegen auch keinen Baustellenlärm. Schwacher Trost, zugegeben.

Ansonsten geht es hier lustig-munter weiter mit den Basisoperatoren. Endlich für etwas vernünftiges entschieden und damit wird nun froh weiter gerechnet.
Mehr dazu zu einem späteren Zeitpunkt - momentan habe ich keine Lust das zusammen zu fassen.Wetter - you know.

Außerdem ist nächste Woche das halbe Institut in Budapest - da werde ich hier bestimmt mal Zeit und Musse für eine schöne Zusammenfassung haben.

Schönes Wochenende.

Posted May 14, 2010

Woche #17: ein erster Erfolg

Zu allererst relativieren wir das mal: Erfolg ist wohl etwas überschwänglich, "was womit man arbeiten kann" ist es wohl eher. Fühlt sich aber schön an.

Heute scheine ich endlich gefunden zu haben wonach ich die letzten 3 Wochen auf der Suche war. Man erinnere (oder lese nach [oder auch nicht]) sich daran, dass ich auf der Suche nach einer passenden Basis für meinen Quantenpunkt bin, welcher als solcher durch Superoperatoren dargestellt wird.

Da der letzte Ansatz so allgemein wie nur irgend möglich gewählt wurde, war ich von Anfang an her zuversichtlich, dass ich was sinnvolles finden würde. Die Konstruktion war dann tatsächlich komplizierter als ich mir das vorgestellte habe. Von der Mathematik her ist es einfachste lineare Algebra, von der Übersichtlichkeit aber eher wie Nadeln im Heuhaufen suchen. Aber auch die findet man ja irgendwann.

Um so glücklicher bin ich nun, einen Satz von Matrizen gefunden zu haben. Mit dem werde ich in der nächsten Woche erst einmal ausgiebigst Prüfen, ob er denn all das leistet, was ich mir von ihm erhoffe.
Endlich mal Spannung hier in der Bude.

Nächste Woche gibt es dann auch ein schönes Bild dazu, wo denn eigentlich das Problem war. Bis dahin erstmal Bilder vom Problemlöser - nämlich mir.

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Woche #16: Planänderung

Diese Woche war gefühlt wieder einmal eine der kürzeren.

Das Semester hat angefangen. Für mich bedeutet das: Übungen korrigieren, Seminarvorträge von unserem Institut besuchen, Japanisch lernen - und dann ist so eine Woche auch schon vorbei.

Natürlich muss in der Zeit auch noch was für die Diplomarbeit gemacht werden. Hab ich dann auch.

Vor 2 Wochen hatte ich mich auf die Suche nach neuen Basen begeben und auch passende gefunden. Dabei ist rausgekommen, dass der Weg zu kompliziert und am Ende vielleicht gar nicht Zielbringend ist. So ist das nun einmal in der Forschung, vorher hat's noch niemand gemacht und nachher weiß man immer alles besser.

Nun bin ich dabei, das Problem von der anderen Seite her aufzurollen - indem Symmetrien, die das System erfüllen muss, allgemein berücksichtigt werden. So kann man sich ebenfalls alle sinnvollen Basismatrizen raussuchen und im folgenden dann entscheiden, welche man tatsächlich braucht.
Der Ansatz ist etwas aufwändiger. Allerdings artet er dann nicht in eine Suche sondern in ein Wegschmeißen hinterher aus - ich halte das für erfolgsversprechender.

Bis dahin geht's gleich erst einmal zur Übungsgruppe, Aufgaben durchsprechen und vorrechnen (lassen).

Woche #14: Ups…

Die Zeit vergeht ja manchmal wie im Flug. Okay, wenn man ehrlich ist vergeht sie für langsame Sachen wie uns immer gleich schnell und ich sollte in der Biologie den Grund dafür suchen, wieso mir die letzten 2 Wochen so kurz vor kamen.

Auf der anderen Seite hat auch die Diplomarbeit ihren Teil dazu beigetragen.

Sich seinen eigenen Weg suchen hat so seine Tücken. Mal weiss man nicht genau, womit man anfangen soll. Mal fängt man an und merkt nach einer halben Stunde, dass man gar nicht weiß wo man denn hin will. Mal fängt man an und kommt an einem vielversprechenden Weg raus, guckt sich um und merkt, dass man in einer Sackgasse steckt.

Im technischen Kontext bedeutet dies, dass ich mir zwei so schöne Basismatrizen gewählt hatte. Bisher waren die noch recht beliebig und müssen nur ein paar Relationen genügen. Nachdem sie die erste Relation (eine gewisse Symmetrie zu den übrigen Matrizen) erfüllten war ich schonmal glücklich.Bis mir dann die zweite Relation letzte Woche erst richtig bewusst wurde, ich panisch alles mögliche gegengecheckt habe. Dabei raus gekommen ist, das ich bisher alles okay gerechnet habe, bis auf eben diese beiden Basen. Die passen doch nicht so super wie ich dachte.Neue Suche!
Dem zur Folge… Zeit vergeht.

Posted April 6, 2010

Woche #11: Auf geht's

…und zwar so langsam weg von der Vorarbeit und hin zu meiner eigentlichen Aufgabe.

Diese Woche habe ich langsam aber sicher die wichtigsten Aspekte des 44 Seiten(!) langen Papers[1] durchgearbeitet. Zwar sind 429 Gleichungen später immer noch genügend Stellen übrig, deren tieferer Sinn mir verborgen geblieben ist, aber die Richtung ist nun klarer.

Neu ist jetzt, dass ich zusätzlich zum nachvollziehen und -rechnen nun auch eigene Ideen einfließen lassen muss - eine gar nicht so einfache Aufgabe. Die nächste Woche wird zeigen, wie gut sich dies umsetzen lässt.
Apropos nächste Woche - allem Anschein nach werde ich den Festkörper-Theoretiker-Flügel in der nächsten Woche alleine vertreten. Der Rest der werten Kollegen besucht zu dieser Zeit nämlich die Frühjahrstagung der DPG in Regensburg. Meinereiner bleibt hier, da er dort eh nicht viel verstehen würde, schließlich bin ich ja noch am Anfang (was nach 4 Jahren Physikstudium eine harte aber wahre Aussage ist).

Aber nun gut, noch eine Aufgabe für mich: nicht aufgeben und im Alleingang den rechten Weg einschlagen.

[1]Physical Review B 80, 045117

Woche #9: kleinere Ablenkungen

Diese Woche war ein bisschen der Wurm drinnen.

Sie began damit, dass ich nicht wie geplant am Montag morgen gemütlich um 9 Uhr im Physikzentrum ankam sondern um diese Zeit schon 4 Stunden auf den Beinen und am Stuttgarter HBF mit viel zu vielen Menschen auf einen viel zu kleinen ICE wartete. Schuld daran - das Orkantief „Xynthia“.
Nochmal 4 Stunden später erreichte ich dann auch das Büro.

Dazu war ich diese Wochen privat leider mehr gebunden als üblich, weswegen die Woche gefühlt doppelt, aus diplomarbeitstechnischer Sicht allerdings nur halb so lang war. Interessante Kombination, nächste Woche darf es dann aber auch gerne wieder normal sein.

Deshalb zum Abschluss nur ein paar allgemeine Feststellungen:

- man erkennt die Güte eines theoretischen Physikers an der Länge seines Bleistiftes
- außerdem sollte es von diesen immer-spitze und beißfeste geben
- ein Radiergummi kann man nicht in Gold aufwiegen

Schönes Wochenende.

Posted March 5, 2010

Woche #8: Verwirrung

Während so einem Physikstudium kommt einem schon eine ganze Menge an Konzepten durch die Finger. Angefangen mit Kräften in der Mechanik, Schwingungen, Wellen und Vektoren, Vektorfeldern in der Elektrodynamik, Relativistische Grundgedanken… und dann die Quantenmechanik.

So gut wie jedem Physiker sollte das Gefühl bekannt sein, die Grundgedanken der Quantenmechanik gefasst zu haben - und dann wieder verloren. Man denkt, es verstanden zu haben, denken weiter… und erreicht einen Punkt, in dem man bei den Grundrechenregeln wieder anfangen muss.
Das Spiel wiederholt sich dann einige Male über die Jahre verteilt, bis tatsächlich alle (bekannten) Zweifel und Stolperstellen gemeistert sind.

Nun ja, wie komme ich darauf? Diese Woche kam der Punkt, an dem mich der Liouville-Raum (eine Stufe über dem Hilbert-Raum wenn man so will) auf dem falschen Bein erwischte und Nahe der Verzweiflung trieb.Aber alles gut, ich bin passend zum Ende der Woche wieder auf dem aufsteigenden Ast angekommen.
Glaube ich.

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Woche #7: Zurück zum lesen

Nachdem ich Woche #6 mit "Was ich in der Diplomarbeit mache" (1&2, schon gelesen?) gefüllt hatte, habe ich natürlich vollkommen vergessen, den wöchentlichen Bericht weiterzuführen.

Schande auf mich, dann fiel Woche #6 eben aus und Woche #7 wird heute nachgetragen. Noch ist sie ja so gut wie frisch.

Also, was habe ich gemacht:
Nachdem ich die letzten Wochen verstanden habe, wie die Renormierungsgleichungen für Spin 1/2 aufgestellt und umgeformt werden, damit man sie dann schlussendlich auch lösen kann, wollte ich das nun endlich doch auch auf mein tatsächliches Problem Spin 1 anwenden.
Dazu habe ich in den letzten Wochen eine neue Algebra zum Spin 1-Modell entwickelt - also im wesentlichen eine möglichst geschickte Basis für die wichtigen Superoperatoren und deren Relationen.

Mit Hilfe dieser Algebra und der Lösung der RG-Gleichungen niedrigster Ordnung konnte ich dann schon einmal überprüfen, ob ich denn bisher richtig gerechnet habe. Und da nichts überraschendes bei rausgekommen ist (niedrigste Ordnungen sind meist langweilig) scheint soweit auch alles okay zu sein.

Aber weil man alleine an Formalismus und Methodik ja noch keine Physik verstanden hat, werde ich diese Woche wieder damit verbringen, das Review weiter zu lesen. Hoffen wir, dass auch etwas Verständnis dabei für mich übrig bleibt.

Was ich in der Diplomarbeit mache… (2/2)

Nachdem ich im ersten Teil von "Was ich in der Diplomarbeit mache…" einen groben Abriss zu dem meinem Modell gegeben habe will ich heute auf meine tatsächliche Arbeit eingehen.

Denn schließlich ist es mit einem Modell alleine ja noch nicht getan.

Renormierungsgruppen:
Beginnen wir mit etwas Allgemeinem zu einem sehr wichtigen Teil meiner Arbeit.

In der Regel behandelt man Modelle, die ein hinreichend kompliziertes System aus verschiedenen Wechselwirkungen beinhalten. Diese Wechselwirkungen erstrecken sich über einen weitreichenden Bereich von Energien. 
Dabei werden die vorherrschenden Phänomene in einem bestimmten Intervall von Energie liegen. Allerdings können vereinzelt, jedoch trotzdem wichtige Wechselwirkungen aus einem vollkommen anderen Energiebereich Einfluss auf das System haben.

Die ausschlaggebende Idee der Renormierung ist nun, das Problem lösbar zu machen, indem man sich auf das Energieintervall in den die grundlegende Physik passiert beschränkt. 
Um die vereinzelten höheren Wechselwirkungen aber trotzdem zu berücksichtigen, führt man eine Renormierung durch. Das bedeutet, dass man sich zwar auf das Intervall begrenzt, die höheren Wechselwirkungen allerdings trotzdem mit einbezieht. Man passt die Physik (genauer gesagt die Wechselwirkungen) innerhalb des Intervalls an.

Vereinfacht gesprochen lässt man zwar etwas weg, sorgt aber gleichzeitig dafür, dass die Effekte die gleichen bleiben.
Dadurch beschränkt man sich auf einen Bereich der Energie, der betrachtet werden muss (Vereinfachung) und kann trotzdem die richtige Physik beschreiben.

Soweit ist dies eine noch allgemein gültig (und ziemlich alte) Idee für viele Fragestellungen der Physik.

Konkrete gibt es sehr viele Methoden, eine Renormierung durchzuführen. Bei allen wird ein Formalismus entwickelt, aus dem sich Gleichungen herleiten lassen. Mit deren Lösung können dann Messgrößen wie zum Beispiel die Besetzungsdichte bestimmt werden.

Leider kann ich zu diesem Zeitpunkt noch nicht sehr viel über die Unterschiede der einzelnen Methoden, geschweige denn die Methode an sich detaillierter erklären.
Aber so eine Diplomarbeit dauert ja schließlich auch ein Jahr lang.

Erweiterung zum Kondo-Modell:
Kommen wir deshalb zurück zu meiner Diplomarbeit.

Denn bisher drehte sich bei dem Kondo-Modell alles um die Elektronen. Diese sitzen sowohl auf dem Quantenpunkt mit Spin 1/2 als auch in den beiden Zuleitungen.
Dieses System ist bisher sehr ausführlich behandelt worden und alleine in meinem Institut gibt es eine gute Hand voll Leute, die sich damit befassen.

Ich hingegen werde mich einer etwas anderen Fragestellung widmen:
Denn anstatt auf den Quantenpunkt einen Spin 1/2 zu setzen kann man diesen auch durch einen Spin 1 ersetzen. Wie dies tatsächlich geschieht, ist dem Theoretiker garnicht mal so wichtig (für diejenigen, die im Geiste gerade zum Lästern ansetzen - man kann zwei Elektronen zu einem Spin 1 Triplet koppeln).

Ausschlaggebend ist, das der Formalismus der Renormierungsgruppe sich dadurch nicht ändert. Einzig und allein die Algebra, in gewisser Weise das Koordinatensystem des Quantenpunktes, ändert sich dadurch.

Meine Aufgabe:
Meine Aufgabe wird nun sein, selbige Algebra zu entwickeln und die dadurch entstehenden Gleichungen herzuleiten.
In diesen Zusammenhang sind häufig fallende Worte wie Liouvillian, Indizeschlacht und Paper-Lesen einzuordnen.
Dabei kommt es mir sehr zu Gute, dass das Spin 1/2 Modell bereits sehr ausführlich bearbeitet wurde und mir somit einen Weg zum entlang-hangeln liefert.

Ich hoffe, damit lässt sich ein wenig besser nachvollziehen, was ich hier über die Wochen meiner Diplomarbeit schreibe - und das ich damit nun niemanden vergrault habe.

Was ich in der Diplomarbeit mache… (1/2)

Wie ich es bereits versprochen hatte, werde ich nun einmal etwas ausführlicher über mein Diplomarbeitsthema berichten.


Dazu habe ich es in zwei Abschnitte eingeteilt, um den wohlgesonnen Leser nicht vollständig zu vergraulen - aus meiner persönlichen Aufmerksamkeitsspanne heraus weiss ich, dass dies schneller geht als man denkt.

Theoretische Festkörperphysik:
Wie der Name schon sagt, behandelt die Theoretische Festkörperphysik keine Experimente mit Kristallen oder ähnlichem, sondern widmet sich der Theorie da diesen.
In meinem Institut bedeutet das, sich für 0- oder 1-dimensionale Strukturen (Punkt oder Draht) Modelle zu überlegen, mit denen diese beschrieben werden können. In der Regel sind dies Systeme aus vielen Teilchen (Viel-Teilchen-Systeme), was den Namen Festkörperphysik rechtfertigt.
Man ist bei Viel-Teilchen-Systemen zumeist daran interessiert, Vorhersagen über das Verhaltens des Systems zu treffen. Konkret spiegelt sich dies zum Bespiel in der Besetzungszahl und dem Strom durch ein System wider. Da sich Viel-Teilchen-Systeme aber nur in seltenen Fällen exakt lösen lassen, beinhaltet eine große Problemstellung der FKP, das System auf die wesentlichen Wechselwirkungen zu reduzieren und es somit berechenbar zu machen. 
Der Grund dafür ist, dass es einfach zu viele Möglichkeiten gibt und damit der Aufwand für die Berechnung ins unendliche steigt. 

Anderson-Modell:
In meinem Fall behandele ich einen 0-Dimensionalen Quantenpunkt. Ein Quantenpunkt ist eine Struktur, ähnlich einem einzelnen Atom; man hat diskrete Energielevel, die mit Elektronen besetzt werden können.
Anders aber als einzelne Atome, die man nicht so ohne weiteres isolieren kann, können Quantenpunkte in Halbleiterstrukturen nachgebaut werden, und sind somit tatsächlich zugänglich fürs Experiment.
In meinem Quantenpunkt sitzt genau ein Elektron auf einem Energielevel, das von außen verändert werden kann. Ausserdem hat der Quantenpunkt zwei Zuleitungen, mit denen ein zusätzliches Elektronen auf das selbe Energielevel des Quantenpunkts springen kann.
Das Modell, welches einen solchen Quantenpunkt beschreibt, heißt Anderson-Modell.
Eine wichtige Eigenschaft des Elektrons ist, das es sowohl über seine Ladung als auch über seinen Spin 1/2 mit anderen Elektronen Wechselwirken kann. Das ist auch der Grund, weswegen nicht mehr Elektronen auf einem Level sitzen können.

Kondo-Modell:
Die Situation, die ich gerne in meiner Diplomarbeit untersuchen möchte, ist eine Vereinfachung des Anderson-Modells. Über eine Transformation wird erreicht, dass sich auf einem Level auch mit Zuleitungen immer nur ein Elektron befinden kann. 
Die einzige Möglichkeit sind virtuelle Doppelbesetzungen, in dem ein Elektron aus einer Zuleitung auf das Level springt, gleichzeitig aber das Elektron aus dem Level weiter in die Zuleitung wechselt.
Dieses System ist bereits hinreichend kompliziert (wenn man noch hinzu nimmt, das die Zuleitungen auf unterschiedlichem Niveau sind, sich der Quantenpunkt also im Nichtgleichgewicht befindet), so dass es nicht exakt gelöst werden kann.

…so, dass wars erst mal. Im Laufe der Woche (± ein paar Tage) wird es den zweiten Teil geben.

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